Corr?lation et R?gression Poster un commentaire
Corr?lation et r?gression : Test d'ind?pendance
Logiciel
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Principe
On souhaite savoir, s'il existe un lien entre la taille et le poids d'un homme. La repr?sentation de la taille en fonction du poids ou vice-versa esr appel?e droite de regression.
s'il n'ya aucun lien entre les deux param?tres, la taille moyenne des individus doit ?tre la m?me quelque soit le poids et reciproquement le poids moyen doit ?tre le m?me quelque soit la taille des individus.
Determination de la droite de regression
La pente P
La droite de r?gression y=f(x) passe par le point de coordonn?es (mx , my) et a pour pente p :
mx et my ?tant les moyennes de x et de y respectivement.
Le coefficient de corr?lation r:
Sx et Sy sont les ?carts-types observ?s de x et y
en rempla?ant Sx et Sy par leur valeur dans la formule de r on a :
r = covariance(x, y)/racine(variance x * variance y).
Test du coefficient de corr?lation r:
La pvalue correspondant ? r peut ?tre obtenue, soit par la table du coefficient de corr?lation pour ddl =n-2, soit en calculant la valeur de student t:
et en cherchant le risque correspondant dans la table de t pour ddl=n-2 ou dans excel avec la formule : loi.student(t, ddl, 1 ou 2); 1 pour un test unilateral et 2 pour un test bilat?ral.
Corr?lation non param?trique
La formule de corr?lation ci-dessus repr?sente le coefficient de corr?lation r de Pearson. Elle est dite param?trique car elle depend de la moyenne et de l'?cart type qui sont beaucoup influenc?s par l'amplitude des observations (les valeurs extr?mes ou outliers). Lorsque l'on a des variables discr?tes, ordinales ou lorsque l'on ne veut pas une corr?lation influenc?e par les outliers, on fait recour aux corr?lations non param?triques.
Coefficient de corr?lation non param?trique de Spearman
Soit deux variables X et Y pour lesquelles on veut determiner le coefficient de corr?lation.
Le principe consiste ? trier dans l'ordre croissant les
observations X et Y et ? remplacer les valeurs par le rang. On
obtient donc 2 nouvelles variables X' et Y'. Ensuite on determine le
coefficient de corr?lation classique pr?senter ci-dessus
(Pearson).
On demontre ? partir de la formule ci dessus du coefficient de
corr?lation (r) de Pearson, que le coefficient de
corr?lation de Spearman (rho) peut ?tre determin?
simplement en appliquant la formule ci-dessous:
di represente les diff?rences y'i-x'i des rangs.
Pour tester la significativit? de la corr?lation on
applique la m?me formule que celle utilis?e pour le
coefficient de corr?lation de pearson (voir la section test du
coefficient de corr?lation r)
Coefficient de corr?lation non param?trique de Kendall
On compare 2 variables X et Y. Le principe consiste ? trier une des variables dans l'ordre croissant, par exemple X. Par la suite on ne s'interesse qu'? l'autre s?rie. Par exemple Y. On regarde si les valeurs de la s?rie Y sont dans l'ordre naturel ou pas.
| X | Y |
| 5 | 9 |
| 9 | 1 |
| 11 | 10 |
| 12 | 3 |
| 17 | 13 |
Pour chaque valeur de la variable Y, on determine le nombre de valeurs
suivantes qui lui est inf?rieur (Ninf) ( dans ce cas on attribue
le score -1 car cela n'est pas l'ordre naturel) et le nombre
de valeurs suivantes qui lui est sup?rieur (Nsup)( dans ce cas
on attribue le score +1).
On a donc un score pour chaque valeur de la variable Y qui est = Nsup-Ninf.
Le coefficient de corr?lation Tau de Kendall est d?fini
comme ?tant : (Total des Scores)/(Maximum Possible)
S represente le score total et n le nombre d'?chantillon (la taille de X et de Y)
Test de signification du coefficient de corr?lation de Kendall
Lorsque N>10, on peut determiner la valeur statistique Z :
NB:
Pour la corr?lation non param?trique : Dans le cas des ex-aequo, les valeurs re?oivent le rang moyen des rang qu'elles auraient pu avoir lorsqu'elles n'?taient pas li?es.
